नमस्कार दोस्तों Top Kro में आपका स्वागत है। आज की इस पोस्ट में हम शेषफल प्रमेय के बारे में पढेंगे। शेषफल प्रमेय ( Sheshfal pramey ) गणित में काफी महत्वपूर्ण प्रमेय है।
इस पोस्ट में हम जानेंगे कि Sheshfal pramey kise kahate hain, शेषफल प्रमेय की परिभाषा, शेषफल प्रमेय का सूत्र क्या हैं, शेषफल प्रमेय के उदाहरण व सवाल इत्यादि के बारे में विस्तार से चर्चा करेंगे। आपसे अनुरोध है कि इस पोस्ट को पूरा पढ़ें ताकि सभी बातें आपको अच्छे से समझ आ सके।
शेषफल प्रमेय क्या है? – Sheshfal pramey
शेषफल प्रमेय के द्वारा किसी संख्या या बहुपद को बिना भाग किये उसका शेषफल आसानी से ज्ञात कर सकते है। शेषफल प्रमेय को इंग्लिश में remainder theorem कहा जाता है।
शेषफल प्रमेय का सूत्र – Remainder theorem formula
शेषफल प्रमेय में एक सूत्र का उपयोग किया जाता है जो आपको नीचे बताया गया है। इस सूत्र की मदद से हम शेषफल ज्ञात कर सकते हैं।
भाज्य = भाजक × भागफल + शेषफल
f(x) = d(x) × q(x) + r(x)
उदाहरण के लिए चित्र में दिखाए अनुसार 7 भाजक है, 25 भाज्य है 3 भागफल है और 4 शेषफल है।
शेषफल प्रमेय – Remainder theorem examples in hindi
जब हम f(x) को एक साधारण बहुपद x – a से भाग देते हैं तो हमें यह प्राप्त होता है:-
f(x) = (x – a) × q(x) + r(x)
जैसा हम जानते हैं कि x – a कि डिग्री 1 है तो r(x) की डिग्री 0 होनी चाहिए जिससे r एक constant हो जाएगा।
f(x) = (x – a) × q(x) + r
अब x – a =0 रखें तो हमें x = a प्राप्त होता है। अब हम x की जगह a रखेंगे।
f(a) = (a – a) × q(a) + r
f(a) = (0) × q(a) + r
f(a) = r
जैसा कि हम देख सकते हैं की जब हम एक बहुपद f(x) को x – a से भाग देते हैं तो शेषफल f(a) आता है।
तो अब हमें पता चल गया है की अगर हमें शेषफल ज्ञात करना है तो हमें असल में भाग करने कि ज़रुरत नहीं है हमें बस f(a) ढूँढना है क्योंकि वह शेषफल के बराबर होता है।
उदाहरण.1. बहुपद 2x² – 3x + 2 को x – 2 से बिना भाग दिए शेषफल ज्ञात करें।
जैसा कि हमने ऊपर की प्रक्रिया में देखा था की शेषफल ज्ञात करने के लिए वास्तविकता में x – 2 से भाग नहीं देना होगा बस हमें f(2) ज्ञात करना होगा और शेषफल उसके बराबर होगा। क्योंकि अगर हम x – 2 = 0 रखें तब हमें x = 2 प्राप्त होगा।
f(x) = 2x² – 3x + 2
f(2) ज्ञात करने के लिए हमें पूरे बहुपद में x कि जगह 2 रखना होगा एवं हल करना होगा।
f(2) = 2(2)² – 3(2) + 2
= 2 × 4 – 3 × 2 + 2
= 8 – 6 + 2
= 4 उत्तर।
अतः इसका शेषफल हमने बिना भाग किए ही निकाल लिया है जो कि 4 है। तो जैसा कि आप समझ गए होंगे शेषफल निकालने के लिए हमें असल में भाग नहीं देना पड़ता इसे बिना भाग दिए भी ज्ञात किया जा सकता है।
उदाहरण.2. अगर भाजक, शेषफल का 2 गुना है ओर भागफल भाजक का 21वां भाग है तथा शेषफल 35 हो तो भाज्य ज्ञात करो?
हल: जैसाकि इस प्रश्न में हमें भाज्य ज्ञात करना है। तब शेषफल प्रमेय द्वारा हम इसका भाज्य ज्ञात कर सकते हैं। भाज्य ज्ञात करने के लिए हमें भाजक, भागफल तथा शेषफल की आवश्यकता होगी।
हमें शेषफल 35 दिया गया है भाजक शेषफल का 3 गुणा है इसलिए भाजक 35 × 3 = 105 होगा।
भागफल भाजक का पांचवां भाग है इसलिए भागफल 105 ÷ 21 = 5 होगा।
अब हमें भाजक, भागफल तथा शेषफल ज्ञात है अब हम भाज्य ज्ञात कर सकते हैं।
भाज्य = (भाजक × भागफल) + शेषफल
भाज्य = ( 105 × 5 ) + 35
भाज्य = 525 + 35
भाज्य = 560 उत्तर।
दोस्तों इस प्रकार से शेषफल प्रमेय का प्रयोग कर सकते हैं।
शेषफल प्रमेय के सवाल – Remainder theorem ke swal
दोस्तों अब आपको Sheshfal pramey के कुछ सवाल दिए जा रहें हैं आपको इन प्रश्नों को हल करना है तथा उत्तर कमेंट बॉक्स में लिखना है।
प्रश्न.1. अगर भाजक 5 व भागफल 9 तथा शेषफल 3 हो तो भाज्य ज्ञात करो?
प्रश्न.2. अगर भाज्य 32 व भाजक 7 तथा शेषफल 4 हो तो भागफल ज्ञात करो?
प्रश्न.3. बहुपद 5x² + 7x – 2 को x – 3 से बिना भाग दिए शेषफल ज्ञात करें?
प्रश्न.4. बहुपद 6x² – 2x + 8 को x – 1 से बिना भाग दिए शेषफल ज्ञात करें?
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उम्मीद करता हूं दोस्तों की शेषफल प्रमेय ( Sheshfal pramey ) से सम्बंधित हमारी यह पोस्ट आपको काफी पसंद आई होगी तथा अब आप जान गए होंगे कि शेषफल प्रमेय किसे कहते हैं, शेषफल प्रमेय का सूत्र क्या होता हैं?
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