वर्ग और वर्गमूल – Varg Or Vargmul Kaise Nikale

दोस्तों आज के हमारे इस लेख में आपको वर्ग और वर्गमूल ( Varg Or Vargmul ) से संबंधित सभी नियम एवं ट्रिक्स की संपूर्ण जानकारी मिलने वाली है। इस पोस्ट के माध्यम से हमने बताया है,कि वर्ग की परिभाषा क्या है?, वर्गमूल क्या है? ,Square Root √ का मतलब क्या होता है?, Vargmul Kaise Nikale एवं निकालने की कितनी विधियां है? तथा वर्ग की पहचान आप कैसे कर सकते हैं?

इन सब चीजों की जानकारी आपको उदाहरण सहित मिलने वाली है,तो इसको अच्छी तरह समझने तथा गणित के इस चैप्टर के ऊपर अपनी अच्छी पकड़ बनाने के लिए आप इस पोस्ट को अंत तक पढ़ें। जिससे कि आपको वर्ग और वर्गमूल संबंधित प्रश्नों को हल करने में कोई कठिनाई न हो तथा आप आसानी से इनके प्रश्नों को हल कर सके।
तो आइए जानते हैं,

वर्ग और वर्गमूल क्या है – Varg Aur Vargmul Kya Hai?

वर्ग की परिभाषा :- वैसी संख्या जिसको स्वयं अपने आप से गुणा करने पर जो गुणनफल प्राप्त हो, उसे उस संख्या का वर्ग करते हैं।
उदाहरण- 2 का वर्ग= 2×2=4 ; 6 का वर्ग= 6×6=36.
यहां 4 एवं 36 संख्या का वर्ग है।

Vargmul Kise Kahate Hain :- वैसी संख्या जिसको स्वयं अपने आप से गुणा करने पर वही संख्या प्राप्त हो, उसे उस संख्या का वर्गमूल कहते हैं।
उदाहरण- √64 का वर्गमूल= √8×√8= 8, यहां रूट 64 का वर्गमूल आठ है।

इसे भी पढ़ें:- समानुपात कैसे निकालें?

Square Root √ का क्या अर्थ होता है?

√ रूट लैटिन भाषा के एक शब्द Radi से लिया गया है जिसका मतलब होता है, “मूल”। कोई संख्या x का वर्गमूल √x होता है।
जैसे- √4 का वर्गमूल = 2 हैं।

पूर्ण वर्ग संख्या कौनसी होती है? – Purn Varg Sankhya Kise Kahate Hai

जिन संख्याओं का वर्गमूल पूरा-पूरा निकलता, उन्हें Purn Varg संख्या कहते हैं। जैसे- 9 पूर्ण वर्ग संख्या है, क्योंकि इसका वर्गमूल पूरा-पूरा निकलता है जो कि 3 है।

1 से 30 तक वर्ग तालिका -1 To 30 Varg Table

संख्या		संख्या का वर्ग		संख्या		संख्या का वर्ग
(1)²	=	1		(16)²	=	256
(2)²	=	4		(17)²	=	289
(3)²	=	9		(18)²	=	324
(4)²	=	16		(19)²	=	361
(5)²	=	25		(20)²	=	400
(6)²	=	36		(21)²	=	441
(7)²	=	49		(22)²	=	484
(8)²	=	64		(23)²	=	529
(9)²	=	81		(24)²	=	576
(10)²	=	100		(25)²	=	625
(11)²	=	121		(26)²	=	676
(12)²	=	144		(27)²	=	729
(13)²	=	169		(28)²	=	784
(14)²	=	196		(29)²	=	841
(15)²	=	225		(30)²	=	900

इसे भी पढ़ें:- अनुपात कैसे ज्ञात करें?

वर्ग की पहचान कैसे करें – Varg Ki Pahchan Kaise kare

वैसी संख्या जिसके अंत में 1,4,5,6 या 9 अंक रहे, वह संख्या हमेशा पूर्ण वर्ग होती है।
जैसे- 4,16,25,81,49 आदि संख्याओं का Varg निकलता है, लेकिन इसके कुछ अपवाद है- 29,96,125 जिनके वर्ग नहीं निकलते हैं।

वैसी संख्या जिसके अंत में 2,3,7,8 अंक रहे, वह संख्या कभी भी पूर्ण वर्ग नहीं हो सकता।
जैसे- 13,47,12,48,73 इत्यादि संख्याएं हैं जिनका Varg कभी नहीं निकलता।

सम संख्याओं का वर्ग हमेशा सम संख्या ही होता है।
जैसे- 4² = 16 ; 12² = 14 इत्यादि।

विषम संख्याओं का वर्ग हमेशा विषम संख्या ही होता है।
जैसे- 3² = 9 ; 11² = 121 इत्यादि।

जिस संख्या के अंत में शून्यों की संख्या विषम हो,वह संख्या कभी पूर्ण वर्ग नहीं हो सकती।
जैसे- 2000,100000 इत्यादि।

जिस संख्या के अंत में शून्यों की संख्या सम हो तथा शून्यों को छोड़ने के बाद शेष संख्या पूर्ण वर्ग हो, तो वह संख्या पूर्ण वर्ग कहलाएगी।
जैसे – 400, 360000 इत्यादि।

इसे भी पढ़ें:- वेग किसे कहते हैं तथा वेग कैसे ज्ञात करते है?

इन नियमों से भी आप Varg निकाल सकते हैं:-
(x+y)² = x²+y²+2xy

जैसे – 23 का वर्ग निकालने के लिए = 20+3 मानें
यहां x=20, y=3

     20²+3²+2×20×3 = 
     400+9+120 = 529. 
इस तरह से भी आप वर्ग निकाल सकते हैं।

(x-y)² = x²+y²-2xy

जैसे – 15 का वर्ग निकालने के लिए = 20-5 मानें
यहां x=20, y=5

      20²+5²-2×20×5 =
      400+25-200 = 225 Ans

वर्गमूल कैसे ज्ञात करें – Vargmul Kaise Nikale

वर्गमूल ज्ञात करने की दो विधियां है:-

गुणनखंड विधि :- इस विधि के अंतर्गत आपको दी गई संख्या का vargmul निकालने के लिए उस संख्या का गुणनखंड करके तोड़ लेना होगा और फिर इसका एक-एक करके pair बना लेना होगा।

इसके बाद हर एक जोड़े में से एक-एक संख्या को बाहर निकाल कर आपस में गुणा करके आप उस संख्या का वर्गमूल ज्ञात कर सकते हैं।

जैसे:- √625

भाग विधि :- इस विधि के अंतर्गत आपको संख्या का भाग करके उसका वर्गमूल बताना होता है। इसमें सबसे पहले आपको उस संख्या का दाईं तरफ से दो संख्याओं का जोड़ा बनाते हुए बाई तरफ आना होता है और जब आप बाई तरफ आते हैं तो वहां एक संख्या या जोड़ा संख्या का शेष बचता है।

अगर जोड़ा संख्या शेष है, तो आपको उसका जोड़ा बना लेना है, नहीं तो बचे एक संख्या को वैसे ही छोड़ देना है। इसके बाद आपको वहीं से भाग लगाते हुए आना है और जिस संख्या का अपने जोड़ा बनाया है उसको एक साथ उतारते हुए हल करना है।

जैसे:- √1849

वर्गमूल से संबंधित मुख्य बातें :-

कोई भी पूर्ण वर्ग संख्या के दो वर्गमूल होते हैं, पहला धनात्मक और दूसरा ऋणात्मक।
जैसे- 9=3² ; 9= -3² यानी 9 के दो वर्गमूल है 3 और -3 .

हर एक पूर्ण वर्ग सम संख्या का वर्गमूल एक सम संख्या ही होता है।
जैसे- √4 = 2 , √64 = 8 इत्यादि।

वैसे ही, हर एक पूर्ण वर्ग विषम संख्या का वर्गमूल एक विषम संख्या ही होता है।
जैसे- √9 = 3 , √49 = 7 इत्यादि।

वैसी पूर्ण वर्ग संख्या जिसके अंत में शून्यों की संख्या सम हो, तो उस संख्या का वर्गमूल पूरा-पूरा निकल जाता है।
जैसे- 400, 2500, 360000 इत्यादि का वर्गमूल पूरा-पूरा निकल जाता है।

इसे भी पढ़ें:- LCM और HCF कैसे ज्ञात करें?

वर्ग एवं वर्गमूल के सूत्र – Varg Aur Vargmul Formula

√(x/y) = √x / √y

√xy = √x × √y

(xy)½ = √x . y½ = x½ × y½

√(x/y) = (x)½ / (y)½

(xy)½ = √xy

(x+y)² = x² + y² + 2xy

(x-y)² = x² + y² – 2xy

(x+y) (x-y) = x² – y²

(x+y)² + (x-y)² = 2(x²+y²)

वर्ग और वर्गमूल से संबंधित प्रश्न – Varg Aur Vargmul Question

दो अंको की संख्याओं का वर्ग बिना गुना किए कैसे ज्ञात करें?

उदाहरण:-16²=10²+6²+1×6×20
=100+36+120
=256 ans.

         29²=20²+9²+2×9×20
              =400+81+360
              =841 ans.

        35²=30²+5²+3×5×20
             =900+25+300
             =1225 ans.

संख्याओं के वर्गों की इकाई का अंक निकालना।

जैसे:- 26² में इकाई अंक निकालने के लिए, 26 का इकाई अंक=6 है और इसका वर्ग 36 और 36 का इकाई अंक= 6, यह 26² का इकाई अंक होगा।

45² में इकाई अंक=5 है, 5 का वर्ग 25 और इसका इकाई अंक=5 यानी 45² का इकाई अंक 5 होगा।

364² में इकाई अंक=4 है, 4 का वर्ग 16 और इसका इकाई अंक=6 यानी 364² का इकाई अंक 6 होगा।
ऐसे करके आप किसी भी संख्या के वर्गो का इकाई अंक जान सकते हैं।

दो लगातार संख्याओं के वर्गों का अंतर ऐसे ज्ञात करें।
दो लगातार संख्याओं के वर्गों का अंतर उनके योगफल के बराबर होता है।
जैसे- 16²-15²=16+15= 31 ans.

    42²-41²=42+41= 83 ans.

   52²-51²=52+51=103 ans.

दो लगातार संख्या के वर्गों के बीच कितनी संख्याएं होती है?

जैसे- 14² – 15² के बीच =
= (15²-14²)-1
=(15+14)-1
=19-1=18 संख्याएं होती है

78² – 79² =(79²-78²)-1
=(79+78)-1
=157-1=156 संख्याएं होती हैं।

93² – 94² =(94²-93²)-1
=(94+93)-1
=187-1=186 संख्याएं होती हैं।

किसी संख्या के वर्गमूल की अंको की गणना कैसे करें?

यदि संख्या एक या दो अंको की होती है, तो उसके वर्गमूल की संख्या 1 होती है।
जैसे- 9 इसकी वर्गमूल की संख्या एक है तथा 25 इसकी भी वर्गमूल की संख्या एक है‌।

यदि संख्या तीन या चार अंकों की होती है तो उसके वर्गमूल की संख्या 2 अंकों वाली होती है।
जैसे- 144 एवं 9604 इनके वर्गमूल की संख्या दो अंको वाली होती है।

यदि संख्या पांच या छः अंकों वाली होती है तो उनके वर्गमूल की संख्या 3 अंको वाली होती है।
जैसे- 10201 और 994009 इनके वर्गमूल की संख्या तीन अंको वाली होती है।

इसे भी पढ़ें:- चाल और औसत चाल में क्या अंतर होता है?

दशमलव अंको का वर्गमूल ऐसे निकालें।

उदाहरण:- √12.96 =
= √1296 / √100
= 36/10
= 3.6 ans.

        √10.24 =
         = √1024 / √100
         = 32/10
         = 3.2 ans.

 √0.04 = √4 / √100
           = 2/10
           = 0.2 ans.

वैसे संख्या जिसके अंत में पांच हो उसका वर्ग निम्न विधि से निकालें।
जैसे:-15² = 1×2×100+5² =225
25² = 2×3×100+5² =625
35² = 3×4×100+5² =1225
45² = 4×5×100+5² =2025
55² = 5×6×100+5² =3025
65² = 6×7×100+5² =4225
125²=12×13×100+5²=15625
285²=28×29×100+5²=81225
315²=31×32×100+5²=99225
1235²=123×124×100+5²=1525225.

ज्यामिति में वर्ग की परिभाषा :-

ज्यामितीय में वर्ग, चतुर्भुज के आकार का होती है, जिसकी चारों भुजाएं आपस में बराबर होती है और प्रत्येक कोण 90 डिग्री का होता है। ज्यामितीय वर्ग के बारे में अधिक जानकारी के लिए आप हमारी यह पोस्ट पढ़ सकते हैं:- वर्ग किसे कहते हैं तथा वर्ग के सभी सूत्र।

वर्ग का क्षेत्रफल = भुजा×भुजा

वर्ग का परिमाप = 4×भुजा

निष्कर्ष :- मित्रों, तो जैसा की मैंने वर्ग और वर्गमूल से संबंधित सभी तथ्य को इस पोस्ट में आपको अच्छी तरह से समझाने का प्रयास किया है। आशा करता हूं कि आपको इस पोस्ट की जानकारी हेल्पफुल लगी होगी और इसे समझने में कोई परेशानी नहीं हुई होगी। अगर ऐसी कोई चीज जो आपकी समझ में ना आयी हो तो आप कमेंट बॉक्स में कमेंट कर सकते हैं । हम उन्हें समझाने का पूरा प्रयत्न करेंगे। धन्यवाद !