द्विघात बहुपद किसे कहते हैं

नमस्कार दोस्तों Top Kro में आपका स्वागत है। आज की इस पोस्ट में हम द्विघात बहुपद के बारे में पढेंगे। द्विघात बहुपद गणित में काफी महत्वपूर्ण विषय होता है। द्विघात बहुपद से सम्बंधित काफी प्रश्न होते है जिनको हल करना विद्यार्थियों को मुश्किल लगता है।

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इस पोस्ट में हम जानेंगे कि Dvighat Bahupad किसे कहते हैं, द्विघात समीकरण का मानक रूप क्या होता है, द्विघात बहुपद को हल कैसे करें, Dvighat samikaran ka formula क्या होता है तथा द्विघात बहुपद के मूलों की प्रकृति के बारे में विस्तार से चर्चा करेंगे। आपसे अनुरोध है कि इस पोस्ट को पूरा पढ़ें ताकि सभी बातें आपको अच्छे से समझ आ सके।

द्विघात समीकरण क्या होता है? – Dvighat Bahupad

ऐसा समीकरण जिसकी बड़ी से बड़ी घात 2 होती है ऐसे समीकरण को द्विघात समीकरण कहा जाता है। द्विघात समीकरणों को हम दो घात वाला समीकरण भी कहते है।

द्विघात समीकरणों का मानक रूप

एक Dvighat samikaran का मानक रूप ax² + bx + c को माना जाता है। यहाँ x का मान अज्ञात होता है तथा a, b एवं c अचर राशियां हैं एवं शून्य के बराबर नहीं है।

ax² = द्विघात पद (Quadratic Term)

a = x² का गुणांक (Coefficient of x²)

bx रैखिक पद (Linear Term)

b = x का गुणांक (Coefficient of x)

c अचर पद (Constant Term)

द्विघात समीकरण का हल

अचर वाले द्विघात समीकरण के दो हल होते है, जिन्हें प्रायः α (अल्फा) β (बीटा) से व्यक्त किया जाता है।

द्विघात समीकरण के शुन्यक

द्विघात समीकरण के दो शुन्यक होते हैं। शुन्यक से अभिप्राय है ऐसी संख्या जिसको समीकरण में रखने पर समीकरण का मान शून्य हो जाता है।

दूसरे शब्दों में, द्विघात समीकरणों को हल करने का अर्थ उनके मूल या शून्य निकालने से है। शून्य या मूल वह संख्या होती है जिसे अगर हम अगर उस समीकरण में चर कि जगह रख दें एवं उस समीकरण को हल करें तो वह शून्य के बराबर हो जायेगी।

अतः हल करने का मतलब हमें ऐसी संख्या निकालनी है जिसे अगर चर की जगह रखा जाए तो हमें द्विघात समीकरण की जगह शून्य मिल जाता है।

द्विघात समीकरण को हल करने की विधि

द्विघात समीकरण को मुख्यतः दो प्रकार से हल किया जाता है एक गुणनखंड विधि द्वारा व दूसरा पूर्ण वर्ग बनाकर।

1. गुणनखंड विधि – Factorization method in hindi

इस विधि में हम समीकरण में कुछ गुणनखंड बनाते है उसके पश्चात समीकरण को हल करते हैं आइये हम इस विधि को एक उदाहरण के साथ समझते हैं

उदाहरण: द्विघात बहुपद x² + 7x + 10 के शुन्यक ज्ञात करें?

जैसा की आप देख सकते हैं यहां हमारे पास एक द्विघात समीकरण है जिसे हमें हल करना है यह ax² + bx + c के रूप में है। अतः यह एक द्विघात समीकरण है।

अब हमें इस समीकरण के मध्य भाग 7x को दो भागों में विभाजित करना है तथा जो दो भाग होंगे वो ऐसे हों कि उनका योग मध्य भाग जितना होना चाहिए एवं उन दोनों भागों का गुणनफल पहले एवं तीसरे पदों के गुणाकों के गुणनफल के बराबर होना चाहिए।

x² + 7x + 10 = 0

तो चलिए हम इसी तरह मध्य भाग को दो भागों में विभाजित करते हैं

x² + 5x + 2x + 10 = 0

जैसा की आपने ऊपर देखा हमने इस तरह दो भाग किये की उनका योग मध्य भाग के बराबर है एवं गुणनफल पहले एवं तीसरे पदों के गुणाकों के गुणनफल के बराबर है।
5 + 2 =7 क्योंकि 7 हमारा मध्य भाग है तथा 5 × 2 = 10। क्योंकि 10 हमारा पहले एवं तीसरे पद का गुणनफल है पहले पद का गुणांक 1 है एवं तीसरे का 10 है।

तो इस तरह हमारा मध्य भाग का विभाजन बिलकुल उन्हीं शर्तों के हिसाब से है जैसा होना चाहिए। अब हम आगे बढ़ते हैं।

अब हमें पहले दो एवं आखिरी दो पदों के जोड़े बनाने हैं।

( x² + 5x ) + ( 2x + 10 ) = 0

आप ऊपर देख सकते हिं हमने पहले एवं आखिरी दो पदों के जोड़े बना लिए हैं एवं अब हमने इन दो जोड़ों में कोई संख्या इस प्रकार common लेनी है की दोनों brackets के अन्दर समान पद आ जाएँ।

x ( x + 5 ) + 2 ( x + 5 ) = 0

जैसा की आपने ऊपर देखा हमने दोनों brackets में से संख्या common ले ली है इससे दो brackets में समान संख्याएं आ गई हैं।

x ( x + 5 ) + 2 ( x + 5 ) = 0

अब समान संख्या वाले दो ब्रैकेट को एक बार लिखकर बची संख्याओं को दुसरे ब्रैकेट में लिखना है।

( x + 5 ) ( x + 2 ) =0

अब हमारे पास इस समीकरण के दो संभव शून्य हैं। हम इन दोनों brackets को एक – एक करके 0 से तुलना करेंगे एवं जो संख्या आएगी इस समीकरण का हल होगी या शून्य होगी।

x + 5 = 0 तथा x + 2 = 0

x = -5 तथा x = -2

तो जैसा की आप देख सकते हैं यहाँ हमें दो शून्य मिल गए। इनका मतलब है कि अगर हम उस समीकरण में चर की जगह इन दो में से कोई एक संख्या रख दें तो उस समीकरण का हल 0 हो जाएगा।

इस प्रकार हम एक समीकरण को गुणनखंड विधि से हल कर सकते हैं।

2. पूर्ण वर्ग विधि

इस विधि में द्विघात बहुपद को हल करने के लिए सूत्र का उपयोग किया जाता है। द्विघात बहुपद का यह सूत्र नीचे दिया गया है।

द्विघात बहुपद का सूत्र

द्विघात बहुपद का सूत्र नीचे दिया गया है। इस सूत्र का उपयोग करके भी द्विघात बहुपद के शुन्यक ज्ञात किये जा सकते हैं।

इस सूत्र का उपयोग करने के लिए द्विघात बहुपद के मूलों की प्रकृति नीचे दी गयी है।

द्विघात समीकरण के मूलों की प्रकृति – Roots of Nature

समीकरण ax² + bx + c = 0 के लिये अगर b² − 4ac > 0 हो तो समीकरण के दो भिन्न वास्तविक मूल होते हैं तथा समीकरण के मूल वास्तविक और असमान होते है।
द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 के लिये b² − 4ac = 0 हो, तो द्विघात बहुपद के मूल वास्तविक और समान होते है।
यदि एक द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 के लिये b² − 4ac < 0 हो, तो द्विघात बहुपद का मूल काल्पनिक होता है।
द्विघात बहुपद के मूलों का योगफल (α + β) = –b/a = –x का गुणांक / (x² का गुणांक)
द्विघात बहुपद के मूलों का गुणनफल (α × β) = c/a = अचर / (x² का गुणांक)
द्विघात समीकरण x² – (α + β) x + (α × β) = 0 होता है।
द्विघात ax²+ bx + c = 0 में जब a + b + c = 1 हो, तो इसका एक मूल अवश्य होता है।

द्विघात बहुपद के सवाल – Dvighat Samikaran Questions

दोस्तों अब आपको द्विघात बहुपद के कुछ सवाल दिए जा रहें हैं आपको इन प्रश्नों को हल करना है तथा उत्तर कमेंट बॉक्स में लिखना है।

प्रश्न.1. द्विघात बहुपद x² – 2x – 8 के शुन्यक ज्ञात कीजिए?
प्रश्न.2. द्विघात समीकरण x² – 8x + 15 के मूल क्या है?
प्रश्न.3. द्विघात बहुपद x² – 5x + 6 के शुन्यक ज्ञात कीजिए?

इन्हें भी पढ़ें:-

उम्मीद करता हूं दोस्तों की द्विघात बहुपद ( Quadratic equation in hindi ) से सम्बंधित हमारी यह पोस्ट आपको काफी पसंद आई होगी तथा अब आप जान गए होंगे कि द्विघात बहुपद किसे कहते हैं, द्विघात समीकरण का मानक रूप क्या होता है, द्विघात बहुपद को हल कैसे करें, द्विघात बहुपद का सूत्र क्या होता है तथा द्विघात बहुपद के मूलों की प्रकृति क्या होती है?

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